二次型

二次型及其标准型

二次型

关于 n 个变量x = (x1,x2,...,xn)的一个二次齐次多项式f(x)为这 n 维向量 x 的二次型

$$\begin{aligned} f(x) = a_{11}x_1^2&+2a_{12}x_1x_2+...+2a_{1n}x_1x_n\\ &+ a_{22}x_2^2+2a_{23}x_2x_3+...+2a_{2n}x_2x_n\\ &+ {...}\\ &+ a_{nn}a_n^2 \end{aligned}$$

其中，非平方项的系数为偶

对应矩阵、标准形

二次型这一多项式式子可以用矩阵乘法表示

$$f(x) = x^T Ax\quad\quad A = \left [ \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ ...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{matrix} \right ]$$

上述矩阵乘法中，A 被称作二次形 f 的对应矩阵

当然，A 必须为实对称矩阵，即a12 = a21，这样在乘出来之后，非平方项合并，系数为 2（偶）

• 当 A 为对角阵时，称二次形 f 为标准形（又叫平方和），自然，根据定义，此时二次齐次多项式只有平方项
• 进一步的，在标准形的基础上，当二次形对应矩阵 A 在对角上的元素元素均为 1、-1 或 0，称二次型 f 为规范形

二次型、标准形、规范形的关键其实都在于其对应矩阵 A

惯性指数、二次型的秩

在 f 对应的标准形 f' 中，对角线上正元素的个数为正惯性指数，负元素的个数为负惯性指数，注意 f 和 f' 的惯性指数是保持一致的

二次型 f 对应矩阵 A 的秩 r(A) 为二次型 f 的秩

合同矩阵、坐标转换

当存在可逆矩阵 C，令矩阵 A 满足下式

$$C^TAC = B$$

则我们说矩阵 A B 合同（反身性，对称性，传递性）

对于二次型 f

$$x^TAx$$

我们进行自变量 x 的一个坐标转换，令

$$y = Cx$$

C 为 x 到 y 的坐标变换，带入二次型 f，则有

$$f(y) = y^TC^TACy = y^TBy$$

这个新的矩阵 B 则为二次型 f 在新坐标 y 下的对应矩阵

很显然，由于

$$B = C^TAC$$

二次型在新旧坐标下的对应矩阵，是合同的

求解二次型标准形及坐标变换

正交变换法

简单来说，就是求一个实对称矩阵（正交相似对角），因为实对称化时，其转化矩阵C单位正交，一定有

$$C^T = C^{-1}$$

所以有

$$C^TAC = C^{-1}AC = B = \left [ \begin{matrix} \lambda{1}&0&...&0\\ 0&\lambda{2}&...&0\\ ...\\ 0&0&...&\lambda{n} \end{matrix} \right ]$$

这个转化矩阵在上一章已经证明过，就是矩阵A的特征向量组成的矩阵（单位正交化后），自然，这里涉及到施密特正交化的运用

于是求解标准形的坐标变换又变成了一个求解单位正交特征向量的问题

标准形和二次型对应矩阵的特征值的关系

正交变换下，根据坐标变换的正交性质求解特征向量

正交变换求解二次型及坐标变换

栗子一

栗子二

配方法

以后再学吧，用配方法化二次型

求解规范形

惯性定理：二次型经过任意左边变换，其标准形的正惯性指数和负惯性指数都是唯一确定的（坐标变换不改变二次型的惯性指数）

通过惯性定理可以求解规范形，很简单的道理，因为规范形只有1,-1,0，由于惯性定理，惯性指数不变，于是如

$$\left [ \begin{matrix} 4&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&-9 \end{matrix} \right ] \rightarrow \left [ \begin{matrix} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&-1 \end{matrix} \right ]$$

就是在标准形的基础上，把正惯性指数用 1 填充，负惯性指数用 -1 填充，0 用 0 填充得到的对角矩阵

求解惯性指数，就是求对应矩阵特征值，然后数数

对应矩阵一定和标准形合同，标准形一定和规范形合同

求解规范形

只要满足惯性指数相同，用 1、0、-1 作系数即可

$$y_1^2+y_2^2-y_3^2$$

正定二次型

正定二次型定义

当二次型 f，对于下式恒成立

$$f(x) = x^TAx > 0$$

则称二次型 f 为正定二次型，其对应矩阵 A 记作正定矩阵

判定正定

判断正定

• 顺序主子式均大于 0
• 特征值均大于 0

顺序主子式，如

$$A = \left [ \begin{matrix} 4&3&2\\ 1&2&3\\ 8&0&-9 \end{matrix} \right ]$$

的顺序主子式为

$$\triangle_1 = 4\quad \triangle_2 = \left | \begin{matrix} 4&3\\ 1&2 \end{matrix} \right | \quad \triangle_3 = |A|$$

在实际情况下，需要对矩阵进行判断，是计算顺序主子式方便求解范围还是一个个求解特征值确定范围方便，有时都行

根据特征值或顺序主子式判断

根据顺序主子式判定

根据特征值判定