特征值和特征向量

特征值、特征向量

特征值在我看来，实际上是一个高维矩阵在单维空间上的某种映射，携带自身的一些特性，而特征向量是特征值对应的一组显性表示

特征值、特征向量定义

对于矩阵A，若

$$A\alpha = \lambda\alpha$$

则 λ 为 A 的一个特征值，α 为特征值 λ 对应的一个特征向量

上述等式等价于

$$(A-\lambda E)\alpha = 0$$

我们可以发现这其实是一个齐次线性方程组，系数矩阵为A-λE，未知数为特征向量 α，这个方程组有解

• 则系数矩阵秩小于 n
• 系数矩阵对应行列式值为 0

根据行列式值为 0，在已知 A 的情况下，很显然可以解出行列式中唯一的未知数 λ，自此解决特征值和特征向量的问题

我们称|A-λE|为 A 的特征多项式，|A-λE| = 0为 A 的特征方程

求解特征值、特征向量

总的来说，求解特征值和特征向量的方法为：

• 设 λ，列出特征方程，解出 λ
• 代入 λ，得到齐次线性方程组的系数矩阵A-λE，求解方程组，得到基础解系
• 方程组的通解即为特征值对应的特征向量，一一列出即可

特征值的一些性质（tr(A)为矩阵 A 的迹，为主对角线元素之和）

$$\sum\lambda_i = \sum_{i=1}^n a_{ii} = tr(A)\\ --------\\ \Pi\lambda_i = |A|\\$$

特征值的运算

$$A^{-1}\Rightarrow\frac{1}{\lambda}\\ --------\\ A^*\Rightarrow |A|\frac{1}{\lambda}\\ --------\\ 3A+2E\Rightarrow3\lambda+2\\ --------\\ A^2\Rightarrow\lambda^2$$

在求解特征值的特征向量时，发现重根的特征值对应的特征向量，可能是一个，也可能是两个，取决于A-λE的秩

相似矩阵

相似矩阵概念及性质

若对于矩阵A，存在可逆矩阵P，使得

$$P^{-1}AP = B$$

则 A 与 B 相似，记作

$$A\sim B$$

相似矩阵性质：反身性，对称性，传递性

特征多项式相等

$$|A-\lambda E| = |B-\lambda E|\\$$

特征值相同

$$\lambda_A = \lambda_B\Rightarrow |A|=|B|=\Pi\lambda\quad\sum_{i=1}^na_ii=\sum_{i=1}^nb_ii=\sum\lambda$$

A 和 B 秩相同

$$r(A) = r(B)$$

一些推论，当 A B 相似时，有

$$A^n \sim B^n\quad A^{-1}\sim B^{-1}\quad A+kE\sim B+kE$$

相似对角化

特征值、特征向量求解的高阶形式

当A~B且 B 为一个对角矩阵（除主对角线上元素均为 0）时，我们称 A 可被相似对角化，B 为 A 的相似对角型

A 能被相似对角化的充要条件

• 方阵 A 有 n 个不同的特征值
• 矩阵 A 每个特征值的重根数均等于其特征向量分量的个数，如二重根对应两个线性无关的特征向量

已知矩阵 A，求解相似对角阵 B 以及过度矩阵 P

$$P^{-1}AP = B$$

首先明确一点，若一个矩阵可以被相似对角化，其相似对角型的主对角线元素均为其特征值（重根占多个元素位），如

$$B = \left [ \begin{matrix} \lambda_{1}&0\\ 0&\lambda_{2} \end{matrix} \right ]$$

设 λ1 的特征向量为 α1，λ2 的特征向量为 α2，则有

$$A\alpha_1 = \lambda_1\alpha_1\quad A\alpha_2 = \lambda_2\alpha_2$$

设

$$P = (\alpha_1,\alpha_2)$$

则

$$AP = A(\alpha_1,\alpha_2) = (A\alpha_1,A\alpha_2) = (\lambda_1\alpha_1,\lambda_2\alpha_2)$$

根据矩阵乘法的性质

$$PB = (\alpha_1,\alpha_2) \left [ \begin{matrix} \lambda_{1}&0\\ 0&\lambda_{2} \end{matrix} \right ] = (\lambda_1\alpha_1,\lambda_2\alpha_2) = AP$$

哦哟，这不就是相似矩阵的定义吗，两边同时乘一个P^{-1}，得

$$P^{-1}AP = B$$

于是我们发现，每个特征值对应的特征向量组成的矩阵（我称之为特征矩阵），就是要求的 A 到 B 的过度矩阵

一定要注意，特征值的位置和其对应的特征向量的位置要一一对应

于是相似矩阵的问题又变成了

• 求特征值，得相似对角型
• 解特征值对应特征向量
• 组合特征向量为特征矩阵

实对称矩阵

相似对角矩阵的更进一步，实对称矩阵要求其所有特征向量两两正交且均为单位向量

• 两两正交：数量积为 0（各分量相乘再相加）
• 单位向量：模为 1，各分量平方和开根

这里要用到施密特正交化

另外注意，特征向量正交是极有用的信息，可以通过这一条件通过特征向量求特征向量，如已知三位实对称矩阵 A，其有一个特征值 a 对应特征向量 α，已知另一特征值 b

$$\alpha = (1,0,1)^T$$

设另外的特征向量为 β

$$\beta = (x_1,x_2,x_3)$$

则

$$\alpha\beta = x_1+x_3 = 0$$

令

$$(x_1,x_2)=(0,1)\Rightarrow\beta_1 = (0,1,0)^T\\ (x_1,x_2)=(1,0)\Rightarrow\beta_2 = (1,0,-1)^T$$

于是得到实对称矩阵 A 的三个特征向量 α,β1,β2

$$P = (α,β_1,β_2) \rightarrow B = \left [ \begin{matrix} a&0&0\\ 0&b&0\\ 0&0&b \end{matrix} \right ]$$