矩阵

矩阵的概念及计算

始终牢记，线性代数是一门研究有限维空间内线性映射的学科

矩阵分类

矩阵A，其行列式记作|A|，当然只有方阵才有对应行列式

矩阵分类	矩阵特征
mxn矩阵	m 行 n 列的矩阵
n阶方阵	n 行 n 列的矩阵，有对应行列式|A|
零矩阵	所有元素全为 0 的矩阵（区分于行列式，行列式实际上就是一个数值，其为 0 和矩阵为 0 是完全不同的概念）
同型矩阵	行列数相等，即尺寸一样的矩阵
单位阵E	主对角线上全为 1，其余位置全为 0 的矩阵，有AE = EA = A
数量阵	即为单位阵的数乘，kE
对角阵	除主对角线上其余位置全为 0 的矩阵
转置矩阵	行列位置变换（区分与行列式，行列式行列互换值不变）
对称阵	自身与其转置矩阵完全相等
反对称阵	其转置矩阵等于自身的负矩阵，即数乘-1就为其转置阵
矩阵多项式	对于多项式f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n，将其自变量更换为矩阵A，即得到对应的矩阵多项式

各类矩阵的性质

单位阵

$$AE = EA = A$$

对角阵

$$AB = BA = \left [ \begin{matrix} b_{1}a_{1}&0\\ 0&b2a_{2} \end{matrix} \right ] <=> a_1b_1 = b_1a_1\\ -------------------\\ A^n = \left [ \begin{matrix} a_{1}&0\\ 0&a_{2} \end{matrix} \right ] ^n = \left [ \begin{matrix} a_{1}^n&0\\ 0&a_{2}^n \end{matrix} \right ]$$

转置阵

$$(A+B)^T = A^T+B^T\quad (AB)^T = B^TA^T\quad (A^T)^T = A$$

矩阵多项式，涉及矩阵的阶乘（也就是乘法）

$$f(A) = a_mA^m + a_{m-1}A^{m-1} + ... + a_1A + a_0$$

矩阵的运算

加法：仅限于同型矩阵，就是每一个位置的元素相加

数乘：常数 k 乘以矩阵 A，即将常数 k 乘到 A 的每一个元素上

乘法：只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时才能相乘，结果为一个新的矩阵

• 单行乘以单列得到一个一维矩阵，就是一个数值
• 就是左矩阵的行元素依次乘上右矩阵的列元素再相加，得到一个新元素
• 乘法是矩阵运算中最重要也是最基本的，他不满足交换律，没有消去律，有零因子（即两个不为 0 的矩阵可以相乘得到零矩阵）

矩阵的乘法满足结合律，但注意左乘和右乘一定不能交换位置

$$AB+AC = A(B+C)$$

数乘满足交换律，结合律

$$kmA = mkA\quad kA+kB = k(A+B)$$

这里矩阵满足结合律，意味着下式成立

$$(A+B)(C+D) = AC+AD+BC+BD$$

矩阵基础运算

利用矩阵结合律求解方程

矩阵和方程组

用矩阵表示方程组，向量乘以向量

用矩阵计算表示方程组，如对于方程组

$$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n = b_2\\ ......\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n = b_n\\ \end{cases}$$

将其系数矩阵提出，有

$$A = \left [ \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ ...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{matrix} \right ]$$

未知数矩阵提出，有

$$X = \left [ \begin{matrix} x_1\\x_2\\...\\x_n \end{matrix} \right ]$$

由矩阵乘法，得

$$Ax = \left [ \begin{matrix} b_1\\b_2\\...\\b_n \end{matrix} \right ] = B$$

将系数矩阵A模块化处理，令其为

$$A = [A_1,A_2,...,A_n]$$

就有

$$A_1x_1+A_2x_2+...+A_nx_n = B$$

伴随矩阵和可逆矩阵

伴随矩阵定义及性质

用于求解逆矩阵

伴随矩阵，回顾一下代数余子式，对于行列式|A|，其在i,j的代数余子式为

$$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$$

其中Mij为行列式|A|除去第 i 行第 j 列的新行列式的值

对于方阵A，其对应行列式为|A|，其伴随矩阵为

$$A^* = \left [ \begin{matrix} A_{11}&A_{21}&...&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&...&A_{n2}\\ ...\\ A_{1n}&A_{2n}&...&A_{nn} \end{matrix} \right ]$$

其中每一个元素都是对应转置位置的代数余子式，每行的代数余子式竖着放构成的矩阵

举个栗子

伴随矩阵的性质：建议一个个推一下

可逆矩阵定义及性质

重要矩阵，逆矩阵和原矩阵相乘可得单位阵

可逆矩阵，若

$$AB = BA = E$$

则说A和B互为可逆矩阵，记作

$$A^{-1} = B\quad B^{-1} = A$$

n 阶矩阵可逆的充要条件

这里一定是不能出现线性相关的向量，很自然的，若有线性相关，则必有一行可以转化为零向量，该行矩阵相乘结果恒为 0，不可能出现单位阵 E

逆矩阵的运算性质

求解逆矩阵

对角矩阵的逆

$$\left | \begin{matrix} a_{1}&0&0\\ 0&a_{2}&0\\ 0&0&a_{3} \end{matrix} \right | ^{-1} = \left | \begin{matrix} 1/a_{1}&0&0\\ 0&1/a_{2}&0\\ 0&0&1/a_{3} \end{matrix} \right |$$

一维矩阵的逆

$$|a|^{-1} = |\frac{1}{a}|$$

定义法：直接找出矩阵B使得AB = E，则B就是A的逆矩阵

公式法

$$A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$$

行变换法

$$(A|E) \stackrel{初等行变换}{\rightarrow} (E|A^{-1})$$

分块矩阵法

$$\left [ \begin{matrix} A&0\\ 0&B \end{matrix} \right ] ^{-1} = \left [ \begin{matrix} A^{-1}&0\\ 0&B^{-1} \end{matrix} \right ] \\-----------\\ \left [ \begin{matrix} 0&A\\ B&0 \end{matrix} \right ] ^{-1} = \left [ \begin{matrix} 0&B^{-1}\\ A^{-1}&0 \end{matrix} \right ]$$

结合矩阵乘法结合律考察

初等变换和初等矩阵

初等变换与初等矩阵的概念

初等变换

• 倍乘初等矩阵：用非零常数 k 乘以矩阵 A 的某一行每个元素
• 互换初等矩阵：两行交换位置
• 倍加初等矩阵：用某行的 k 倍加在另一行上

初等矩阵即由单位阵 E 经由一次初等变换得到的矩阵

等价矩阵：A 经由有限次初等变换得到矩阵 B，则称 A 和 B 互为等价矩阵

初等变换与初等矩阵的性质

初等变换后的矩阵和原先矩阵等价，初等矩阵乘以矩阵等同于在该矩阵上做初等矩阵相应的初等变换

初等矩阵的转置仍是初等矩阵

初等矩阵均是可逆矩阵，且其逆矩阵均是初等矩阵

用初等矩阵 P 乘以矩阵 A，相当于对 A 作出相应的初等行变换，如

$$\left [ \begin{matrix} 1&0\\ 1&1 \end{matrix} \right ] \left [ \begin{matrix} 1&2\\ 3&4 \end{matrix} \right ]$$

相当于把第二个矩阵的第一行加在第二行上，得

$$\left [ \begin{matrix} 1&2\\ 1+3&2+4 \end{matrix} \right ]$$

如果是右乘，即

$$\left [ \begin{matrix} 1&2\\ 3&4 \end{matrix} \right ] \left [ \begin{matrix} 1&0\\ 1&1 \end{matrix} \right ]$$

相当于把第二列加在第一列上，得

$$\left [ \begin{matrix} 1+2&2\\ 3+4&4 \end{matrix} \right ]$$

也就是说，左乘对应行变换，右乘对应列变换

利用初等矩阵进行初等变换，几个栗子

行阶梯矩阵、行最简矩阵

由于初等变换后的矩阵和之前的等价，于是我们选择一种简便的矩阵，行阶梯矩阵或行最简矩阵代替原先的复杂矩阵，进行一系列计算

主元：矩阵每个行向量的第一个非零元素称作该行的主元

行阶梯矩阵：全零行位于矩阵底部，非零行的主元列指标 j 随行指标 i 的增大而严格递增，就是说，越往下的主元必须越靠右，这样的矩阵为行阶梯矩阵

行最简矩阵：每个行向量的主元为 1，每个主元所在列向量除主元外均为 0 的行阶梯矩阵

求行最简矩阵方法

• 先从上往下，从左往右将主元所在列之下元素全化为 0
• 再从下往上，从右往左将主元所在列之上元素全化为 0

求行变换对应初等矩阵：(A|E) ——> (B|P)，则有AP = B，P即为A行变换到B的初等矩阵

分块矩阵

降阶的感觉，分块的概念最早出现在拉普拉斯行列式

分块矩阵定义

不同于行列式，行列式的分块是为了简化计算，如凑出全 0 阵，利用拉普拉斯进行求解

矩阵的分块更加自由，行列不受限制，由于不同的需求，同一个矩阵可以用迥异的方法分块，如

每一个小块称作分块矩阵的子矩阵

分块矩阵运算

加减、乘法和转置

阶乘运算

逆运算

举个栗子

• 证明矩阵可逆：对应行列式不为 0
• 根据矩阵的运算以及逆矩阵的定义证明两矩阵互相可逆

通过分块可以有效地简化计算

分的随意一点，注意副对角线矩阵逆运算的性质

方阵的行列式

方阵行列式的性质：设有 n 阶矩阵 A

转置：转置矩阵行列式等于原矩阵

数乘：k乘在矩阵的每个元素上，行列式每行提出一个k，共n行

$$|kA| = k^n|A|$$

乘法和阶乘

$$|AB| = |A|\,|B|\quad |A^2| = |A|^2$$

伴随：理解不了

$$|A^*| = |A|^{n-1}$$

逆运算：行列式是一个数，指-1为其倒数

$$|A^{-1}| = |A|^{-1}$$

分块矩阵

举俩栗子

这里注意一个逆矩阵和伴随阵的相互替换

$$A^{*} = |A|\,A^{-1}$$