多元函数微分学

多元函数的极限和连续

二元函数定义

z为一个以(x,y)为自变量的二元函数，(x,y)指平面上的一个点，D为一个点集（可以视作一块面积），f(x,y)的值即为在点(x,y)处的高

$$z = f(x,y)\quad(x, y)\in D$$

通常z表示三维空间的一个曲面，这个曲面在二维空间x-y直角坐标系上的投影即为点集D

二元函数的极限和连续

当下式成立时

$$|\lim_{x\rightarrow x_0,\,y\rightarrow y_0}f(x,y) - A| < \epsilon$$

则说二元函数f(x,y)在(x0,y0)的极限为A

在一元函数中，对某点的极限，有左极限和右极限之分，即从左侧和右侧逼近该点的极限值，只有当二者相等时，我们说该点的极限值存在

相同的，对于二元函数，我们同样有着这种要求，但因为自变量由一维升至二维，逼近的方向从“左右”变成平面上的“四面八方”，即可以从直角坐标系的任一角度进行逼近，比如

$$\lim_{x\rightarrow 0,\,y=x^2}\quad \lim_{y\rightarrow 0,\,x=y^3}\quad \lim_{x\rightarrow 0,\,y=ln(x+1)}$$

只有当所有方向逼近(x0,y0)的极限均相等时，才可以说该二重极限存在

在实际做题时，若找不到一般方法证其全相等，就找两条不同的路径证明其重极限不存在😋

二元函数的连续即指其极限等于该点的函数值，当然，大前提是二重极限得存在（极限不存在不可能连续）

$$\lim_{x\rightarrow x_0\,y\rightarrow y_0}f(x,y) = f(x_0, y_0)$$

简而言之

• 重极限不存在，一定不连续
• 两条路径的同点极限不同，重极限不存在

多元函数的微分

二元函数的偏导数与全微分

连续、偏导和微分的关系

二元函数连续即指：其在点(x0,y0)的极限值等于函数值

二元函数偏导存在即指：其在lim x->x0处极限存在（无论 y 取值如何），y 的偏导同理

二元函数的全微分指以下极限存在

$$\lim_{△x->0,\,△y->0} \frac{f(x_0+△x, y_0+△y)-f(x_0,y_0)-A△x-B△y}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

即表示分子与分母同阶，其中A,B为二元函数f的偏导数

$$A = \frac{∂f}{∂x}\quad B = \frac{∂f}{∂y}$$

由全微分的条件可知：只有当两个偏导数均存在，且原二元函数在该店连续，且上述分式极限存在时，才可以说二元函数可微

也就是说，二元函数连续，或偏导数均存在，是其可微的必要条件，但不充分

注意，该极限存在等价于二元函数的偏导数二阶可导，即下面两个偏导存在

$$\frac{∂^2f}{∂x^2}\quad \frac{∂^2f}{∂y^2}$$

复合函数的偏导数与全微分

对于二元函数复合一元函数

$$\frac{dz}{dt} = \frac{∂z}{∂u}\frac{du}{dt} + \frac{∂z}{∂v}\frac{dv}{dt}$$

对于二元函数复合二元函数

$$\frac{∂z}{∂x} = \frac{∂z}{∂u}\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂z}{∂v}\frac{∂v}{∂x}\\ ----------\\ \frac{∂z}{∂y} = \frac{∂z}{∂u}\frac{∂u}{∂y} + \frac{∂z}{∂v}\frac{∂v}{∂y}\\$$

全微分形式不变性

$$dz = \frac{∂z}{∂u}du + \frac{∂z}{∂v}dv = \frac{∂z}{∂x}dx + \frac{∂z}{∂y}dy$$

高阶偏导数，当二阶混合偏导数均连续，存在

$$\frac{∂^2z}{∂x∂y} = \frac{∂^2z}{∂x∂y}$$

隐函数的偏导数与全微分

通过方程确定一个二元函数，通过对方程两侧求偏导并令其同时为 0，得到其驻点

极值和最值

无条件极值

就是求一个多元函数的驻点，比较

$$AC-B^2 > 0$$

• 若上式成立，则极值存在，若小于零，则极值不存在，否则需要讨论
• 另外，当极值存在时，若 A > 0，则为极小值，反之，则为极大值

通过比较极值和边界值，可以确定二元函数在区间内的最值

条件极值

比如要求

$$D = x^2+y^2+z^2$$

的极值，同时给定条件

$$z^2 = x^2+y^2+xy+x-y+4$$

这样要求的极值D即为一个条件极值

• 对于简单条件，可以对 D 中自变量 z 做一个等价替换，即替换为 x 和 y 的多项式，再令其偏导为零求其驻点
• 对于复杂条件，设拉格朗日方程，引入变量 λ ，对所有变量求偏导并令其为 0，解得驻点

就是在原有极值的基础上加了一个条件方程，限制自变量的取值

最值问题

要求一个函数的最值，和一元函数类似，考虑极值、边界值，只不过对于多元函数多了边界上的条件极值

• 首先考虑二元函数在定义域内（不包含边界）的无条件极值
• 再考虑边界上的条件极值
• 最后考虑边界值

老老实实解拉格朗日方程的极值

方向导数、梯度及几何应用

仅数一要求

方向导数与梯度

梯度实际上就是各个偏导在某点的值构成的矩阵，如对于函数z = xy+x+y，其在(1,1)处的梯度为

$$grad\,f(1,1) = [\frac{∂z}{∂x}|_{(1,1)}\,,\,\frac{∂z}{∂y}|_{(1,1)}] = [2,2]$$

多元函数的方向导数，即给出多元函数z和一个方向l，这个方向就是一个矩阵，你譬如[1,1,1]就是一个从(0,0,0)指向点(1,1,1)的方向，那么z关于这个方向l，存在方向导数

$$\frac{∂z}{∂l} = grad\,f(x_0,y_0)\,l^T$$

如函数z=xy+x+y关于l=[1,1]的方向导数为

$$\frac{∂z}{∂l} = grad\,f(1,1)\,l^T = [2,2]\times \begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix} = 2\times1+2\times1 = 4$$

同时这个梯度啊（也是一个方向向量），实际上就是曲面在该点的法向量，如上式中方向[2,2]就是函数z在点(1,1)的法向量，可以根据方向和经过点列出相应垂直方程（点斜式）

几何应用

切平面方程：点斜式

$$\frac{∂f(x_0, y_0)}{∂x}(x-x_0) + \frac{∂f(x_0, y_0)}{∂y}(y-y_0) + (z-z_0) = 0$$

空间曲线的切线：参数方程

$$参数方程 \begin{cases} x = x(t)\\ y = y(t)\\ z = z(t) \end{cases} \Rightarrow 三个方向切线\begin{cases} x = x_0 + x'(t_0)(t-t_0)\\ y = y_0 + y'(t_0)(t-t_0)\\ z = z_0 + z'(t_0)(t-t_0) \end{cases}$$