极限：63、65、69、70、71、73、74、93、98、99、104、106

导数：21、38、40、46、50

中值定理（证明题动不得笔）：18、24、30、32、40、43、45~49、51、52、57~60、65、68、70、71

不定积分：34、39、48、51、55

定积分：16、17、19、23、24、32、37、46、47、49、50、51

函数、极限和连续

求极限之法：等价代换

• 有理化：提公因子，通分，约分
• 凑1：加减凑一凑等价，乘除凑一化掉不想要的分子分母
• 分割：对于分子分母齐次的极限，分子加减是可以分开求的
• 放缩，夹逼定理
• 换元
• 直接得：对于确定为常数的极限，直接得出值
• 泰勒
• 洛必达

常用等价无穷小

$$e^{1+x}-1\sim x\quad ln(1+x)\sim x\quad (1+x)^a-1\sim ax$$

三角函数转化，主要是cot, sec, csc不太熟悉

$$cos^2x - sin^2 x = cos2x\quad 2sinxcosx = sin2x$$

洛必达和泰勒是两种等价替代函数的方法，其思路不同，但所得结果一定相同，等价无穷小一定可以用洛必达和泰勒两种方法证得，在割裂分式时，一定要做到分子分母同阶，有时天然如此，有时要用泰勒展开使之强行同阶，然后割裂求极限后求和

和化积分之法

$$\lim_{n->∞}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n ln(1+\frac{i}{n}) = \int_0^1ln(1+x)dx$$

由定积分的性质得到，即无数个小矩形的长乘宽，小矩形的长为定积分上下限除以n，n为分得的矩形份数，宽为当前对应的函数值

$$\lim_{n->∞}\frac{b-a}{n}\sum_{x=a}^{b}f(x) = \int_a^bf(x)dx$$

在上上式中积分上限为 1，下限为 0，所以公因子为1-0=1

求解未知系数

• 已知函数连续，求解未知系数，这里的函数常常包含有极限，在自变量x取不同值时，极限亦不同，列出x极限的分界点，令分界点极限相等求解未知数
• 已知函数方程求未知参数，常用泰勒展开，比对方程左右两边系数确定未知数

求数列收敛极限，首先证明数列的单调性，常用数学归纳法，然后令a(n+1) = a(n)求解极限a(n),n->∞

一元函数微分

有关中值定理的证明题束手无策

求导

简单导数计算

• 对于底数和指数均含 x 的函数，先手动指一个 e，化为e^g(x)的形式进行求导
• 积分求导：涉及到积分，这里尽量化为f(u)du的形式进行积分，即需要换元（同时也要换积分上下限），然后洛回f(g(x))求解即可

求解 n 阶导

• 一些分式的拆解，记为A/f(x) + B/g(x)的形式，即用待定系数法拆解原式，再根据指数导数列出各自 n 阶导
• 数学归纳法

积分求导的计算，搞清楚自变量以及复合形式，细心慢慢导，可以适当手动设原函数F(x)，再导回来，逻辑上更清晰，如

$$\int_1^uf(r^2)dr \rightarrow f(u^2)\\ ---------\\ \int_1^{u^2}f(r)dr \rightarrow 2uf(u)\\ ---------\\ \int_1^{u^2}f(r^2)dr \rightarrow 2uf(u^2)$$

对于上下限为复合函数的积分求导，导完一定要链式对限导依次再相乘

中值定理

中值定理：费马，罗尔，拉氏，柯西

渐近线

考察一元微分和极限的综合

渐近线：注意垂直渐近线发生在常数范围，水平渐近线总是在x -> ∞处

斜渐近线的求法

• 先令x -> ∞，得到斜率K = f(x)/x
• 设斜渐近线L: y = kx + c，令f(x) - y = 0在x -> ∞时成立，解得常数c，得到斜渐近线

垂直渐近线，当x -> a时，y -> ∞，此时有垂直渐近线x = a

水平渐近线，当x -> ∞时，有y = a，此时有水平渐近线y = a

不定积分

积分方法：基本思想是换元

• 融项：将被积函数提到微分符号d后
• 数乘加减变换：拆分、凑元
• 直接换元，如令√x = t

常见的积分手段

一些特殊换元积分

对于函数

$$I = \int\sqrt{1+e^x}dx$$

令

$$\sqrt{1+e^x} = t$$

则有

$$I = \int\frac{2t^2dt}{t^2-1} = \int(\frac{t}{t-1}+\frac{t}{t+1})dt = \int(2+\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1})dt$$

三角函数不定积分

三角求导

$$(tanx)' = \frac{1}{cos^2x} = sec^2x\\ -----------\\ (cotx)' = \frac{1}{sin^2x} = csc^2x\\ -----------\\ (arcsinx)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ -----------\\ (arccosx)' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\\ -----------\\ (arctanx)' = \frac{1}{1+x^2}\\ -----------\\ (sin^2x)' = 2sinx\,cosx = sin2x\\ -----------\\ (cos^2x)' = -2sinx\,cosx = -sin2x$$

一些三角积分

$$\int secx\,dx = ln\,|secx+tanx|+C\\ ---------------\\ \int cscx\,dx = ln\,|cscx-cotx|+C\\ ---------------\\ \int tanx\,dx = ln\,|cosx|+C\\ ---------------\\ \int \frac{1}{1+sin^2x}\,dx = \int \frac{sec^2x}{sec^2x+tan^2x}\,dx = \int \frac{d\,tanx}{1+2tan^2x}\\ ---------------\\ \int \frac{sinx}{1+sin^2x}\,dx = \int \frac{d\,cosx}{cos^2x-2}\\ ---------------\\ \int \frac{cosx}{1+sin^2x}\,dx = \int \frac{d\,sinx}{1+sin^2x}\\ ---------------\\ \int \frac{1}{1+cosx}\,dx = \int \frac{1}{2cos^2\frac{x}{2}}\,dx$$

三角换元

$$\sqrt{1-x^2}\Rightarrow令x=sint\\ \sqrt{1+x^2}\Rightarrow令x=tant$$

三角和差

$$sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB\\ -----------------\\ sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB\\ -----------------\\ cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB\\ -----------------\\ cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB\\ -----------------\\ tan(A+B) = \frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}\\ -----------------\\ tan(A-B) = \frac{tanA-tanB}{1+tanAtanB}\\$$

分部积分

分部

• 一次或多次分部降阶函数或简化函数进行求解
• 多次积分获得方程，解出所需积分

凑函数技巧

拆东墙补西墙但是能补好，常见于拆分和加减或数乘凑整

线性凑整：通过加减常数，将分子凑为分母的整数倍，简化运算，如

$$\int\frac{1+x^2}{1+x^4}dx = \int\frac{1+\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}+x^2}dx=\int\frac{1}{(x-\frac{1}{x})^2+2}d(x-\frac{1}{x})$$

对上式凑出分母凑出u^2+1的形式，再通过arctan(u)对二阶分母进行积分

分式拆分：设分子系数未知数，将分母按照乘法项拆开降阶分母，如

$$\int\frac{1-x^2}{1+x^4}dx = \int\frac{1-\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}+x^2}dx = \int\frac{1}{(x+\frac{1}{x})^2-2}d(x+\frac{1}{x}) = \int\frac{d(x+\frac{1}{x})}{(x+\frac{1}{x})-\sqrt{2}}-\int\frac{d(x+\frac{1}{x})}{(x+\frac{1}{x})+\sqrt{2}}$$

平方差公式拆开分式，使分母从二阶降为一阶，再通过ln(u)的方式对分式进行积分

处理e^x

• 融出e^x，令其常驻微分符号后，进行积分
• 进行换元，如令√(e^x)-1 = t，则x = ln(t^2+1)

一个特殊积分

$$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}} = ln|x+\sqrt{x^2+a}|+c$$

定积分

有关定积分和中值定理结合的证明题束手无策

三角定积分

华里士公式：对于三角函数的 n 次方在 0 到 π/2 的积分满足

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^nx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos^nx = \begin{cases} \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}...\frac{2}{3}&\text{n为奇数}\\ \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}...\frac{1}{2}\frac{\pi}{2}&\text{n为偶数} \end{cases}$$

对于xf(sinx)的复合形式，可以将 x 作为常数提出，换元可证明，令t = x-π，sin(t+π) = sint，奇偶对称化去 x

$$\int_0^\pi xf(sinx)\,dx = \frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(sinx)dx$$

极限定义

定积分的极限定义：将区间(0,1)分成无限个矩形，每个矩形的宽为(1-0)/n，长为f(x)，面积之和即为积分结果

$$\lim_{n->∞}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(\frac{i}{n}) = \int_0^1f(x)dx$$

推广到一般情况

$$\lim_{n->∞}\frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{b-a}f(a+i) = \int_a^bf(x)dx$$

积分技巧

定积分的对称奇偶化简

$$\int_{-a}^asin^3xdx = 0\\ --------\\ \int_{-a}^asin^2xdx = 2\int_0^asin^2xdx$$

在进行换元时，一定要换限，如根号换元之后，其积分上下限同样取根号

$$令\sqrt{x} = t,x\in[a,b]\Rightarrow t\in[\sqrt a,\sqrt b]$$

求不规则的函数最值，一般就硬求导，比较极值和临界值得到最值

物理应用

圆的面积：易知 x^2 + y^2 = 1，且有定义域 -1 < x < 1 和值域 y > 0

$$\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}dx = \frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{\pi}{2}$$

弧长

$$s = \int\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt = \int\sqrt{1+y'^2}\,dx$$

旋转体的定积分：都是对面积在某条坐标轴上积分，得到体积

• 绕 x 轴时，面积为圆面，半径为当前点的 y 坐标值
• 绕 y 轴时，面积为圆柱侧面，高为 y 差值，长（圆柱底面周长）为 2πx

$$绕x轴\rightarrow\int\pi y^2\,dx\\ --------\\ 绕y轴\rightarrow\int2\pi ry\,dx$$

旋转体的表面积：对曲边矩形面积积分，一个2πy是一个曲边矩形的长，曲边矩形的宽为一段弧长s，二者相乘为这个小侧面的面积，对 x 积分得整个曲面的面积

$$2\pi\int_a^b|y|\sqrt{1+y'^2}\,dx$$

变力做功：常见液体压力做功，对液压高度 h 积分

$$dFx = dmgh = gh\,dm = ρgh\,dV = ρghS\,dh$$

无穷级数

求人不如求己

求级数

求级数 ——> 级数化为函数的幂展开（泰勒展开）——> 求和后换回函数并代入具体的 x 值