微分方程：17、19、25、27、29、30、33~36、46~54

线性方程组：1、9、16、22、27

行列式

求解行列式，根据各种变换方法

伴随矩阵和可逆矩阵对应行列式的变换

$$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}\quad |A^*| = |\,|A|A^{-1}\,| = |A|^n|A^{-1}| = |A|^{n-1}\\ -----------------------\\ |(A^*)^{-1}| = |(A^{-1})^*| = |(|A|A^{-1})^{-1}| = |\frac{A}{|A|}| = \frac{|A|}{|A|^n} = \frac{1}{|A|^{n-1}}$$

很明确的是，以上所有推导形成闭环，且(A*)⁻¹始终等于(A⁻¹)*，通过两种证明方式可以得到相同结果，即代换A⁻¹或A*

矩阵

求解逆矩阵、伴随阵，矩阵乘法、秩、方程等式的证明题

伴随和可逆的转换

伴随矩阵和可逆矩阵的变换

$$A^{-1} = \frac{A^*}{|A|} \quad A^* = |A|A^{-1}\\ ---------------\\ (A^{-1})^{-1} = A\quad (kA)^* = k^{n-1}A^*\\ ---------------\\ (A^*)^{-1} = (|A|A^{-1})^{-1} = \frac{A}{|A|}\\ ---------------\\ (A^*)^* = (|A|A^{-1})^* = |A|^{n-1}(A^{-1})^* = |A|^{n-1}\frac{A}{|A|} = |A|^{n-2}A\\ ---------------\\ (A^{-1})^* = (\frac{A^*}{|A|})^* = \frac{(A^{*})^*}{|A|^{n-1}} = \frac{|A|^{n-2}A}{|A|^{n-1}} = \frac{A}{|A|} = (A^*)^{-1}\\$$

矩阵乘法结合律

矩阵运算，结合律的运用

$$(A+2E)(B-2E) = AB-2A+2B-4E\\ ------------------\\ AXA^{-1} = B \Rightarrow X = A^{-1}BA\\ ------------------\\ \alpha=[1,2,3] \Rightarrow\alpha^T(\alpha\alpha^T)\alpha = 14\alpha^T\alpha$$

对角阵和分块阵

对角阵及分块矩阵的逆：其中a/b可以是元素，也可以是子矩阵，均成立

$$\left | \begin{matrix} a&0\\ 0&b \end{matrix} \right |^{-1} = \left | \begin{matrix} a^{-1}&0\\ 0&b^{-1} \end{matrix} \right | \\ \left | \begin{matrix} 0&a\\ b&a \end{matrix} \right |^{-1} = \left | \begin{matrix} 0&b^{-1}\\ a^{-1}&0 \end{matrix} \right |$$

矩阵乘法和秩的关系

矩阵乘法对秩的影响：设有矩阵A

转置矩阵相乘，秩不变

$$r(AA^T) = r(A) = r(A^T)$$

A乘以满秩矩阵B，秩不变，

$$r(B) = n \Rightarrow r(A) = r(AB)$$

当乘积的秩为零阵时，各乘项秩之和不超过 n

$$r(AB) = 0\Rightarrow r(A)+r(B) \leq n$$

各乘项秩之和不小于乘项之和的秩

$$r(A)+r(B) \geq r(A+B)$$

乘积的秩小于等于任一乘项的秩

$$r(AB) \leq min\{r(A),r(B)\}$$

秩为 0，矩阵为 0 阵

$$r(A) = 0 \Rightarrow A = O$$

伴随阵的秩等于阶数减去矩阵的秩

$$r(A^*) = \begin{cases} 0&r(A)<n-1\\ n&r(A)=n\\ 1&r(A)=n-1 \end{cases}$$

使用公式法计算伴随矩阵时，“正方向”上的元素要乘以-1，其余均为正

矩阵方程求解，常用如下变换

$$AA^{-1} = A^{-1}A = E\quad A^{-1} = \frac{A^*}{|A|}\\ ---------------\\ A^* = |A|A^{-1}\quad AA^*=A^*A = |A|E\\ ---------------\\ (kA)^{-1} = \frac{A^{-1}}{k}$$

线性方程组

求解齐次、非齐次线性方程组的基础解系、通解

求解同一系数矩阵的多个非齐次方程组时，可以增广两列，同时进行计算，如

$$\left[\begin{array}{lcr|rr} -1 & 2 & 1 & 2 & 1\\ 3 & 18 & 1 & 12 & 4\\ 0 & 4 & 12 & 2 & 7 \end{array}\right]$$

就对应了两组非齐次线性方程组，统一进行变换求解将更加简单，同时，很显然，两个非齐次方程组的导出组的通解保持一致（系数矩阵相同）

向量

线性相关的证明题，线性表出的证明题

定义

线性相关是针对向量组α来说的，就是说是否存在不全为 0 的系数组合k使得向量组的一个线性组合为 0，存在则为线性相关（定义）

$$k_1\alpha_1 + ... + k_n\alpha_n = 0\quad k_1=...=k_n=0\\$$

这个问题等价于将向量组的系数k视作齐次线性方程组里的未知数（这里的系数k对应是向量组对应线性方程中的未知数x），即类比于αx = 0存在非零解

$$\begin{cases} a_{11}k_1+...+a_{1n}k_n = 0\\ a_{21}k_1+...+a_{2n}k_n = 0\\ ...\\ a_{n1}k_1+...+a_{nn}k_n = 0\\ \end{cases}$$

化为矩阵乘法的形式，AK = 0

$$A = \left [ \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ ...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{matrix} \right ]\quad K = \left [ \begin{matrix} k_1\\ k_2\\ ..\\ k_n \end{matrix} \right ]\Rightarrow AK = 0$$

同样的，对于线性表出β = αx，这里的α是已知的向量组，x为各分量前的系数，只有当这里的方程组有解，即x存在时，我们说β能够被α线性表出，线性相关关联的是齐次线性方程组，而线性表出关联的是非齐次线性方程组

证明线性相关/无关

证明线性关系

• 从定义上考虑：列出等式k1α1+...+knαn = 0，证明这个等式成立时，必有k1=...kn = 0
• 从秩上考虑：当系数矩阵（在这里相当于向量组，因为向量组作为系数）满秩一定线性无关，反之线性相关
  • 从乘法对秩的影响上考虑：若向量组A线性无关，则必有r(A) = n，若B = AP，则r(B) = min{r(A), r(P)}，要证B线性无关，则必有r(B) = n，就变成了证明r(P) = n
  • 从等价上考虑秩
    • 矩阵等价：秩相等
    • 向量组等价：能够互相表出，如α和β等价，则必有α和(α|β), (β), (β|α)保持一样的线性关系
• 从正交上考虑：通常会结合定义进行证明，对等式Ax = 0和正交向量β做内积消去一些项证明未知数x均为 0

求解线性相关方程中的未知数

• 初等变换看出来，秩小于 n
• 行列式算出来，令其为 0

特征值和特征向量

求解矩阵的特征值和特征向量，以及矩阵的相似对角阵和变换矩阵 P，或者求解相似阵的过渡矩阵（涉及两个相似阵的变换矩阵 P 的求解）

非零列向量相乘之矩阵

对于两个非零列向量相乘得到的矩阵 A

$$A = \alpha\beta^T$$

根据定义灵活代换λ和A，可以达到降次的效果，高次A代换常数λ降次A，如，先取平方，有

$$A^2 = \alpha\beta^T\alpha\beta^T = k\alpha\beta^T = kA$$

进一步，对于特征值和特征向量，有

$$A^2X-AX = k\lambda X-\lambda X$$

另外，对于矩阵 A，其秩必定为 1，证明如下

1. 首先由于两个列向量非 0，所以其乘积不可能为 0 阵，所以有r(A) >= 1
2. 第二要明确，任何列向量的秩均等于 1
3. 最后，根据矩阵乘法和秩的关系，有r(A) <= r(α) = 1

故1 <= r(A) <= 1，自然r(A) = 1

这点对于证明这样的矩阵是否能够相似对角化十分有用

非规则相似阵求过渡阵

已知A~B，B不为对角阵，求解P，使得

$$P^{-1}AP = B$$

由于 A B 特征值一样，假设为(λ1,λ2,λ3)，则一定有P1,P2使得

$$P_1^{-1}AP_1 = P_2^{-1}BP_2 = C = \left [ \begin{matrix} \lambda_1&0&0\\ 0&\lambda_2&0\\ 0&0&\lambda_3 \end{matrix} \right ]$$

所以有

$$P_2P_1^{-1}AP_1P_2^{-1} = B\Rightarrow 所求P = P_1P_2^{-1}$$

所以求解这类问题，分为以下步骤

• 求解 A B 公有的特征值 λ
• 求解 A B 各自的特征向量，得到特征矩阵 P1，P2
• 求逆 P2，矩阵乘法得到最终结果 P

求逆一定要细心

二次型

求解二次型的标准型和规范型，以及标准相似对角阵，正/负惯性指数，判定二次型是否正定（特征值是否均为正）

正交变换

给定二次型 f，严格按照以下步骤求解

1. 列出对应矩阵 A，根据特征方程|A-λE| = 0解出特征值 λ（此时已经可以列出二次型对应标准形的对应矩阵，当然也可以列出 f 的规范形）
2. 根据特征值 λ 求解齐次方程组得到各个对应的特征向量
3. 施密特正交并且单位化各特征向量，组合特征向量得到正交坐标转换

二次形的正交变换中，根据正交的性质独立求解特征向量，如已知

$$(A+4E)B = 0\quad B = (\beta_1,\beta_2,\beta_3)$$

则有

$$(A+4E)\beta_1 = 0\quad (A+4E)\beta_2 = 0$$

是不是很像特征值、特征向量的定义（其实就是），于是我们可以得知二次型的对应矩阵 A 有特征值 -4 及其两个特征向量 β1 和 β2

进一步的，因为是正交变换，设第三个特征向量β3 = (x1,x2,x3)，则有

$$(\beta_1,\beta_3) = 0\quad (\beta_2,\beta_3) = 0$$

再任意确定一个自由项，可以解出 β3 的解系，进而得到所有的特征向量，自然可以得到正交坐标变换

$$C = (\beta_1,\beta_2,\beta_3)$$

在已知特征值的情况下，可以由此倒推二次形对应矩阵 A

$$A = C \left [ \begin{matrix} \lambda_1&0&0\\ 0&\lambda_2&0\\ 0&0&\lambda_3 \end{matrix} \right ] C^T$$

配方法

把二次型所有项配成平方的形式，如

$$f(X) = x_1^2+x_2^2+2x_1x_2 \rightarrow f(X) = (x_1+x_2)^2$$

坐标变换，令y1 = x1+x2，则

$$f(Y) = y_1^2 \Rightarrow \left [ \begin{matrix} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{matrix} \right ]$$

好标准的标准形

合同、相似和等价

合同，定义上为存在可逆矩阵 C 使得

$$C^TAC = B$$

则 A B 合同，在求解时，一般只看二者惯性指数是否相同，相同则合同，否则不同

相似，定义上为存在可逆矩阵 P 使得

$$P^{-1}AP = B$$

则 A B 相似

等价，秩相同，则说两矩阵等价