多元微分：9、11、19、20、21（入门）10、11、15、16、18~22、37、38、43、46（基础）
重积分：3、7、11、12、14、16~19（入门）7、8、9、18、28、29、30、35、37、38（基础）
多元微分 求导 全微分不变性：求偏导、微分的统一解法
一元函数，二元变量 二元函数，一元变量 二元函数，二元变量 求解由方程确定的隐函数偏导：就是对方程双边求偏导，注意一些为 0 的情况
如下式第二个参数v=y并没有所求的偏导量 x，所以导出来复合相乘为 0
∂ f ( x + y , y ) ∂ x = f 1 ′ + 0 f 2 ′ = f 1 ′
\frac{∂f(x+y, y)}{∂x} = f'_1 + 0f'_2 = f'_1
∂ x ∂ f ( x + y , y ) = f 1 ′ + 0 f 2 ′ = f 1 ′
证明可微性 连续性
lim x → 0 y = x f ( x , y ) = lim x → 0 y = x 2 f ( x , y ) = lim x → 0 y = e x f ( x , y )
\lim_{x\rightarrow0\,y=x}f(x,y) = \lim_{x\rightarrow0\,y=x^2}f(x,y) = \lim_{x\rightarrow0\,y=e^x}f(x,y)
x → 0 y = x lim f ( x , y ) = x → 0 y = x 2 lim f ( x , y ) = x → 0 y = e x lim f ( x , y ) lim x → a y = b f ( x , y ) x − a = lim x → a f ( x , b ) x − a
\lim_{x\rightarrow a\,y=b}\frac{f(x,y)}{x-a} = \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x,b)}{x-a}
x → a y = b lim x − a f ( x , y ) = x → a lim x − a f ( x , b ) lim ρ → 0 △ z − ∂ f ∂ x x − ∂ f ∂ y y ρ
\lim_{\rho\rightarrow0}\frac{\triangle z-\frac{∂f}{∂x}x-\frac{∂f}{∂y}y}{\rho}
ρ → 0 lim ρ △ z − ∂ x ∂ f x − ∂ y ∂ f y △ z = f ( x , y ) − f ( a , b ) ρ = x 2 + y 2
\triangle z = f(x,y) - f(a,b)\quad \rho = \sqrt{x^2+y^2}
△ z = f ( x , y ) − f ( a , b ) ρ = x 2 + y 2
几何意义 梯度和方向导数
法线，法平面，切线，切平面
多元函数表示平面
重积分 积分中值定理 一重积分中值定理：对面积的积一定等于宽度乘以某点的函数值
∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) ξ ∈ ( a , b )
\int_a^bf(x)dx = f(\xi)(b-a)\quad\quad\xi\in(a,b)
∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) ξ ∈ ( a , b ) z = f(x,y)的函数值
∬ D f ( x , y ) d x d y = f ( ξ , η ) S D ( ξ , η ) ∈ D
\iint_{D}f(x,y)dxdy = f(\xi,\eta)S_D\quad\quad(\xi,\eta)\in D
∬ D f ( x , y ) d x d y = f ( ξ , η ) S D ( ξ , η ) ∈ D
改变积分次序 充分考虑几何意义：从左往右，从下往上，换积分上下限
重点在于作图，在不好确定y-x图时，可以将 y 视作横轴，x 视作纵轴进行作图，然后上下限进行一个等式的变换，再根据从左往右的顺序排列上下限（考虑几何关系），实现积分次序的改变
极坐标 极坐标转换及应用：适用于积分范围为圆域或圆域的一部分的重积分
对于一些坐标并不在原点的圆域，需要进行特殊考虑，如
D : { ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 ≤ 2 x }
D:\{(x,y)|x^2+y^2\leq2x\}
D : {( x , y ) ∣ x 2 + y 2 ≤ 2 x } (1,0)为原点，此时极坐标积分为
∫ − π 2 π 2 d θ ∫ 0 2 c o s θ r f ( r c o s θ , r s i n θ ) d r
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}dθ\int_{0}^{2cosθ}rf(rcosθ,rsinθ)dr
∫ − 2 π 2 π d θ ∫ 0 2 cos θ r f ( rcos θ , rs in θ ) d r r上限2cosθ是怎么来的：直接连接原点和原上任意一点，根据圆的性质，通过圆的直径d将角度θ和长度r相联系
三重积分 数学直觉 其实就是靠几何意义转化
根据数学直觉对空间进行积分，实际上就是把空间体积给积出来，同时乘以被积函数（体积乘以密度，立体的质量）
如
∭ Ω x 2 + y 2 d x d y d z Ω = { ( x , y , z ) ∣ x 2 + y 2 ≤ z ≤ 1 − x 2 − y 2 }
\iiint_Ω\sqrt{x^2+y^2}dxdydz \quadΩ=\{(x,y,z)|\sqrt{x^2+y^2}\leq z\leq\sqrt{1-x^2-y^2}\}
∭ Ω x 2 + y 2 d x d y d z Ω = {( x , y , z ) ∣ x 2 + y 2 ≤ z ≤ 1 − x 2 − y 2 } z的上下界相等，可以得到x^2+y^2 = 1/2
可以转化为体积的积分乘以函数值（密度），这里用到极坐标来求体积，底面积为
∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 2 r d r
\int_0^{2\pi} dθ\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}rdr
∫ 0 2 π d θ ∫ 0 2 1 r d r x 2 + y 2 − 1 − x 2 − y 2 = 1 − r 2 − r
\sqrt{x^2+y^2}-\sqrt{1-x^2-y^2} = \sqrt{1-r^2}-r
x 2 + y 2 − 1 − x 2 − y 2 = 1 − r 2 − r x 2 + y 2 = r
\sqrt{x^2+y^2} = r
x 2 + y 2 = r ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 2 r 2 ( 1 − r 2 − r ) d r
\int_0^{2\pi} dθ\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}r^2(\sqrt{1-r^2}-r)dr
∫ 0 2 π d θ ∫ 0 2 1 r 2 ( 1 − r 2 − r ) d r I = ∭ Ω x 2 + y 2 d x d y d z Ω = { ( x , y , z ) ∣ x 2 + y 2 ≤ z ≤ a }
I = \iiint_Ω\sqrt{x^2+y^2}dxdydz \quadΩ=\{(x,y,z)|\sqrt{x^2+y^2}\leq z\leq a\}
I = ∭ Ω x 2 + y 2 d x d y d z Ω = {( x , y , z ) ∣ x 2 + y 2 ≤ z ≤ a } I = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 a r 3 ( a − r ) d r
I = \int_0^{2\pi} dθ\int_0^{a}r^3(a-r)dr
I = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 a r 3 ( a − r ) d r
公式转化 严格按照三重积分的顺序进行运算，即正儿八经对 z 进行积分
举个栗子
I = ∭ Ω z d x d y d z Ω = { ( x , y , z ) ∣ 4 − x 2 − y 2 ≤ z ≤ x 2 + y 2 3 }
I = \iiint_Ωzdxdydz \quadΩ=\{(x,y,z)|\sqrt{4-x^2-y^2}\leq z\leq \frac{x^2+y^2}{3}\}
I = ∭ Ω z d x d y d z Ω = {( x , y , z ) ∣ 4 − x 2 − y 2 ≤ z ≤ 3 x 2 + y 2 } I = ∫ 4 − x 2 − y 2 x 2 + y 2 3 z d z ∬ D d x d y
I = \int_{\sqrt{4-x^2-y^2}}^{\frac{x^2+y^2}{3}}zdz\iint_Ddxdy
I = ∫ 4 − x 2 − y 2 3 x 2 + y 2 z d z ∬ D d x d y I = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 3 r ( 4 − r 2 − r 4 9 ) d r
I = \int_0^{2\pi} dθ\int_0^{\sqrt{3}}r(4-r^2-\frac{r^4}{9})dr
I = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 3 r ( 4 − r 2 − 9 r 4 ) d r
微分方程 一阶微分 最基本的
可分离变量的微分方程，狠狠积分 一阶线性微分方程，代公式 不知道怎么推的
y = e − ∫ p ( x ) d x [ ∫ e ∫ p ( x ) d x q ( x ) d x + C ]
y = e^{-\int p(x)dx}[\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx + C]
y = e − ∫ p ( x ) d x [ ∫ e ∫ p ( x ) d x q ( x ) d x + C ]
换元法 本质上是换元法的微分方程
将 x 视作因变量，对 y 积分，求解 x(y)，倒过来令 y 为自变量会发现神奇的事情，如下则变为一个一阶线性方程，可以通过公式直接求解
d y d x = 1 x + y 2 ⇒ d x d y = x + y 2
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+y^2} \Rightarrow \frac{dx}{dy} = x+y^2
d x d y = x + y 2 1 ⇒ d y d x = x + y 2 y = u x ⇒ y ′ = u ′ x + u
y = ux \Rightarrow y' = u'x + u
y = ux ⇒ y ′ = u ′ x + u y ′ = d y d x = p ⇒ y ′ ′ = p ′ = d p d x = p d p d y
y' = \frac{dy}{dx} = p \Rightarrow y'' = p' = \frac{dp}{dx} = p\frac{dp}{dy}
y ′ = d x d y = p ⇒ y ′′ = p ′ = d x d p = p d y d p
令 x+y = u，则
y ′ = d u d x − 1 = u ′ − 1
y' = \frac{du}{dx}-1 = u'-1
y ′ = d x d u − 1 = u ′ − 1 y ′ = u ′ x + x
y' = u'x+x
y ′ = u ′ x + x y ′ = d y d x = d u − 1 d x = − 1 u 2 u ′
y' = \frac{dy}{dx} = \frac{du^{-1}}{dx} = -\frac{1}{u^2}u'
y ′ = d x d y = d x d u − 1 = − u 2 1 u ′ d y 2 = 2 y d y ⇒ y = d y 2 2 d y ⇒ y y ′ = d y 2 2 d x
dy^2 = 2ydy \Rightarrow y = \frac{dy^2}{2dy} \Rightarrow yy' = \frac{dy^2}{2dx}
d y 2 = 2 y d y ⇒ y = 2 d y d y 2 ⇒ y y ′ = 2 d x d y 2
对微分换元
d y d x ⇒ x = l n t y ′ = d y d l n t = x d y d t = x y t ′
\frac{dy}{dx} \stackrel{x = lnt}{\Rightarrow} y' = \frac{dy}{dlnt} = x\frac{dy}{dt} = xy_t'
d x d y ⇒ x = l n t y ′ = d l n t d y = x d t d y = x y t ′ d 2 y d x 2 = d y ′ d x = d x y t ′ d l n t = t d x y t ′ d t = t ( x y t ′ ) ′ = t ( y t ′ + x y t ′ ′ )
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy'}{dx} = \frac{dxy_t'}{dlnt} = t\frac{dxy_t'}{dt} = t(xy_t')' = t(y_t'+xy_t'')
d x 2 d 2 y = d x d y ′ = d l n t d x y t ′ = t d t d x y t ′ = t ( x y t ′ ) ′ = t ( y t ′ + x y t ′′ ) d y d x = d y d s i n t = s e c x d y d t = y t ′ c o s t
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dsint} = secx\frac{dy}{dt} = \frac{y_t'}{cost}
d x d y = d s in t d y = sec x d t d y = cos t y t ′
进一步有
d 2 y d x 2 = d y ′ d s i n t = 1 c o s t d y ′ d t = 1 c o s t ( y t ′ c o s t ) ′ = y t ′ ′ c o s t − y t ′ s i n t c o s 3 t
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy'}{dsint} = \frac{1}{cost}\frac{dy'}{dt} = \frac{1}{cost}(\frac{y_t'}{cost})' = \frac{y_t''cost - y_t'sint}{cos^3t}
d x 2 d 2 y = d s in t d y ′ = cos t 1 d t d y ′ = cos t 1 ( cos t y t ′ ) ′ = co s 3 t y t ′′ cos t − y t ′ s in t
二阶微分 二阶微分方程求解步骤
根据微分方程列特征方程，求特征值 根据特征值套公式得齐次通解 根据特征值猜测非齐次特解形式 特解代入原方程确定特解常系数 齐次通解加非齐次特解得非齐次通解 如何推测特解的形式：对于一般的自由项，指多项式的形式，如
Q ( x ) = 3 x 3 + 2 x 2 + x + 1
Q(x) = 3x^3+2x^2+x+1
Q ( x ) = 3 x 3 + 2 x 2 + x + 1 则推测特解为
y ∗ = a x 3 + b x 2 + c x + d
y^* = ax^3+bx^2+cx+d
y ∗ = a x 3 + b x 2 + c x + d
对于特殊的自由项，这里特指
Q ( x ) = P m ( x ) e a x
Q(x) = P_m(x)e^{ax}
Q ( x ) = P m ( x ) e a x
对于实根 λ，重合度 k 最高为 2，即 a 等于两个重根，最小为 0，即 a 不等于特征值 λ 对于这种情况，设特解为
y ∗ = x k Q m ( x ) e a x
y^* = x^kQ_m(x)e^{ax}
y ∗ = x k Q m ( x ) e a x
对于虚根，有
Q ( x ) = e a x c o s b x Q ( x ) = e a x s i n b x
Q(x) = e^{ax}cosbx\quad Q(x) = e^{ax}sinbx
Q ( x ) = e a x cos b x Q ( x ) = e a x s inb x a+bi / a-bi，重合度要么为 1 要么为 0，即要么相等要么不等，此时有特解
y ∗ = e a x x k [ Q m ( x ) c o s b x + R m ( x ) s i n b x ]
y^* = e^{ax}x^k[Q_m(x)cosbx + R_m(x)sinbx]
y ∗ = e a x x k [ Q m ( x ) cos b x + R m ( x ) s inb x ] a/b
曲线曲面积分