代数系统

二元运算和代数系统

二元运算，一类函数，作用于序偶（二元关系）上

一般我们说，在某个集合上的二元运算（满足封闭性）构成一个代数系统

• 表示的是这个元素集合能够组成的二元关系和二元运算构成的系统
• 当然，代数系统不一定包含该集合上的所有二元关系

表示为<A,*>，其中 A 是组成二元关系的集合，* 为二元运算

群的分类

群是一类特殊的代数系统（广群即为一个基本的代数系统）

群的不同阶段	性质
广群	封闭性
半群	封闭性，结合律
含幺半群（独异点）	封闭性，结合律，有幺元
群	封闭性，结合律，有幺元，有逆元
阿贝尔群	封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律

群没有零元：反证法

群的性质

子群

• 子群：对于群<A,*>，若集合 A 存在某一子集 B，在二元运算 * 的作用下仍构成群<B,*>，则说<B,*>是<A,*>的子群
• 平凡子群：群<A,*>的平凡子群为<A,*>和<{e},*>，其中 e 是群的幺元

拉格朗日定理：子群集合的元素个数一定能够整除群的集合的元素个数，即若<B,*>是<A,*>的子群，则有 |B| 能够整除 |A|

循环群：由一生成元自循环可得到所有的集合元素

• 循环群一定是阿贝尔群（一定满足交换律）

阶数

• 群的阶数：即集合 A 中元素的个数（集合的基数）
• 元素的阶数：对于群中元素，若a^k = e，则 k 为元素 a 的阶数，其中 e 为群的幺元

群的同态：若 f 是群 <A,*> 到群 <B,⊕> 的同态映射，则有

$$\forall a,b\in A\quad f(a*b) = f(a)⊕f(b)$$

注意 f(a)、f(b) 为 B 中元素

群的同构：若同态映射 f 为双射（单射且满射），群 <A,*> 到群 <B,⊕> 是同构的

环和域

涉及同一集合上的两种运算，对于一个代数系统

$$<A,+,*>$$

若

• <A,+>构成一个阿贝尔群
• <A,*>构成一个半群
• 且 * 运算对于 + 运算在 A 上是可分配的，即a*(b+c) = a*b + a*c = (b+c)*a

则代数系统<A,+,*>构成一个环

若<A,*>构成的是一个含幺半群，且不含零元，则代数系统<A,+,*>构成一个整环

若<A,*>构成的也是一个阿贝尔群（即含幺元、逆元且满足交换律），则代数系统<A,+,*>构成一个域