向量空间 - 线性映射 - 多项式

《Linear Algebra Done Right》第1-4章

线代主要研究有限维向量空间上的线性映射

向量空间

复数

复数集合：C = {a+bi: a,b∈R}

• 其中i^2 = -1

复数运算

• 加法：实部加实部，虚部加虚部

• 乘法：(a+bi)*(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i

  就是把i视作实数进行乘法运算，将i^2替换为-1即可

运算性质：z,z1,z2∈C

• 交换性：乘法交换、加法交换
• 结合性：乘法结合、加法结合
• 单位元：有唯一的0,1使得z+0=z1, z*1=1
• 加法逆：总存在唯一的w∈C使得w+z=0，记为-z
• 乘法逆：总存在唯一的w∈C使得w*z=0，记为1/z
• 分配性质：z(z1+z2) = zz1+zz2

向量空间的定义和性质

二维向量空间：R² = {(x,y): x,y∈R}，可视作平面

二维向量空间：R³ = {(x,y,z): x,y,z∈R}，可视作空间

长度为n元组：(x1,x2,...,xn)

• 称x1为第1个坐标，x2为第二个坐标，以此类推
• 组的长度是有限的非负整数，(x1,x2...)不称为组，()为组
• 与集合的区别：集合{4,4,4}等价于{4}，而组不等价

定义F=R/C，正整数n，则有高维向量空间：F(n) = {(x1,x2,...,xn): xi∈F,i=1,...,n}

• 维数3以外，人脑不能产生几何模型，但仍能进行代数运算
• 我们不关注高维向量的物理意义，只是计算
  • 什么是向量？即具体的值，如(1,2,3,4)便是R(4)上的一个向量
  • 与二维的箭头一样，所有向量平行移动后仍视其为同一向量（长度和方向没变）

运算：

• 定义0=(0,...,0)，为高维的零，任意向量加0为其本身，相乘得零向量
• 定义1=(1,...,1)，为高维的单位向量，任何向量与之相乘的等于自身
• 向量的标量乘法：a∈F, a(x1,x2,...,xn) = (ax1,ax2,...,axn)

向量的运算同样满足：z,z1,z2∈F(n)

• 交换性：乘法交换、加法交换
• 结合性：乘法结合、加法结合
• 加法单位元：存在唯一的向量0使得z+0=z
• 加法逆：总存在唯一的w∈C使得w+z=0，记为-z
• 乘法单位元：存在唯一的向量1使得z*1=z
• 分配性质：z(z1+z2) = z*z1+z*z2

在向量空间中：

• 加法单位元唯一：零向量唯一
• 每个向量v有其唯一的加法逆-v
• 任意向量与标量0相乘，得零向量
• 任意标量与零向量相乘，得零向量
• 标量-1乘以任意向量，得该向量的加法逆

子空间

子空间也是向量空间，如{(x1,x2,0)}是R³的子空间

• 子集不一定是子空间

当U是V的子集，如何证明U是V子空间？

• 具有加法单位元，0∈U
  • 所以{(x1,x2,1)}就不是R³的子空间
  • 过原点的平面为子空间（包含(0,...,0)）
• 对加法封闭，即子空间内任意向量相加，仍为子空间内向量
• 对标量乘法封闭，解释同上

和与直和

子空间的和：设U1,U2,..,Un都是向量空间V的子空间，则子空间的和为

$$U_1+U_2+...+U_n = {u_1+u_2+...+u_n, u_i∈U_i}$$

• 易知子空间的和仍为子空间

当子空间相加等于整个向量空间，我们称这种和为子空间的直和

• 如U1+U2 = {x,y,0}+{0,0,z} = {x,y,z}，{x,y,0}+{0,0,z}便为直和
• 记作R³ = U1⊕U2，这个符号⊕表示直和

设U1,...,Un都是V的子空间，则V=U1⊕...⊕Un当且仅当

• V = U1+U2+...+Un
• 若u1+u2+...+un = 0，则每个ui均为0

有限维向量空间

线代关注的并不是任意的向量空间，而是有限维向量空间，这种空间有这样一些重要概念：张成、线性无关、基和维数

张成与线性无关

定义向量空间V中一组向量的线性组合：

$$a_1v_1+a_2v_2+...+a_mv_m$$

• 其中ai为常数
• vi为向量在各维度的具体取值

向量(v1,v2,...,vm)所有线性组合的集合称为该向量张成(span)

• 即ai的取值任意，任意的线性组合
• 空组()的张成为{0}
• 空集不是V的子空间

张成可以作用于多个向量，如span((2,1,3),(1,0,1)) = a1(2,1,3)+a2(1,0,1)

• 我们也可以说向量(7,2,9)可以由(2,1,3),(1,0,1)张成（a=2,b=1）

容易证明向量空间任一向量的张成都为V的子空间

若一个向量空间可以由它的一组向量张成，那么这个向量空间就是有限维的，因为：

• ((1,0,...,0), (0,1,...,0),..., (0,...,1))总能张成为Fn

线性无关：是向量之间的关系

向量空间的张成组：一组向量

如果一组向量(v1,v2,...,vn)

令其线性组合a1v1+...+...anvn = 0

• 若只有在a1=a2=...=an=0上述等式成立，那么我们称向量(v1,...,vn)是线性无关的

• 否则则是线性有关的

• 也可以这样理解，某一维度上的值可以由剩余值线性表示，即

  $$a_iv_i = a_1v_1+...+a_{i-1}v_{i-1}+a_{i+1}v_{i+1}+...+a_nv_n$$
  这样的话，即使标量不全为零，也可以使线性组合和为0

上述的第二种理解方式等价与vi = span(剩余元素)

定理：线性无关组的长度小于等于张成组的长度

• 即线性无关组元素个数小于等于向量空间的维数

命题：有限维向量空间的子空间都是有限维的

基

基：一个向量组

若向量空间V中一个向量组

• 可以张成为V
• 线性无关

那么这个向量称为V的基

如

$$((1,0,...,0),(0,1,...,0),...,(0,...,0,1))是F^n的基$$

并且这是Fn的标准基

基的用处：可以唯一地线性表达向量空间内任一向量

• 注意向量空间的张成组不一定是基，因为他有可能是线性相关的

定理：向量空间中，每个张成组都可以化简为一个基

• 自然的，张成组必然可以张成向量空间
• 同时，去掉张成组中线性相关的向量，化为线性无关组
• 线性无关的张成组 = 基

推论：每个有限维向量空间都有基

• 有限维向量空间 —> 张成组 —> 基

定理：向量空间中每个线性无关组都可以扩充成一个基

• 这里的扩充是指人为地往向量组中添加向量
• 扩充时始终保证向量组的线性无关性
• 如何扩充？从V中任取一个张成组，遍历该组，加入线性无关组的张成中不含的向量即可

定理：对于向量空间V中任一子空间U，总存在另一子空间W，使得

$$V = U\bigoplus W$$

上式等价与

$$V=U+W,U\bigcap V=\lbrace 0\rbrace$$

这里向量组的加和并计算如下

$$U+W=\lbrace v|v=a_1u_1+a_2u_2+...+a_nu_n+b_1w_1+...+b_mw_m)$$

$$U\bigcap W=\lbrace v|v= a_1u_1+...+a_mu_m = b_1w_1+...+b_nw_n\rbrace$$

维数

定理：有限维向量空间的任意两个基长度相同

于是我们定义向量空间V基的长度n为向量空间的维数，记作

$$dimV = n$$

命题：子空间的维数小于等于其父空间的维数，即若U是V的子空间，V有限维，则

$$dimU \leq dimV$$

• U的任意基都是V上的一个线性无关组，从而可以扩充成V的一个基，自然dimU <= dimV

命题：若V有限维，则V中每个长度为dimV的张成组都是V的一个基

命题：若V有限维，则V中每个长度为dimV的线性无关组都是V的一个基

定理：若U1,U2同为V的子空间且V有限维，则

$$dim(U+W) = dimU+dimW-dim(U\bigcap W)$$

好吧，据我理解（太几把抽象了）

$$U+W=(u_1,u_2,...,u_n,w_1,w_2,..,w_m)\\U\bigcap W=\lbrace u_i|u_i=aw_j,a\in R\rbrace$$

命题：若V有限维，U1,U2,...,Um是V的子空间，有V=U1+...+Um，且dimV=dimU1+...+dimUm，则

$$V=U_1\bigoplus U2\bigoplus......\bigoplus U_m$$

线性映射

就是线性变换：linear transformation

这一章一半来自科师的讲义，其讲义说的其实更像是算子

定义与运算

线性映射时满足以下性质的函数T: V —> W

对于u,v∈V

• 齐性：T(kv) = k(Tv)
• 加性：T(u+v) = Tu + Tv

线性映射是一种变换规则，在形式上可被视作矩阵，作用于向量组

线性变换有以下性质：

• 线性映射经过线性映射后，仍为线性映射，这意味着
  • 线性映射作用于线性变换后，仍为线性变换
  • 线性映射相加后仍为线性变换
  • 线性映射经过标量乘法后仍为线性变换
• 线性映射的运算满足“乘法”结合律、分解律，一般不满足交换律（矩阵的左乘和右乘区别很大）

线性映射的运算，设有线性变换A,B

• 加法：(A+B)a = Aa + Ba

• 数乘：标量乘法，瞎几把乱乘

• 乘法：可结合，但不可交换(AB)a = A(Ba)

  行列相乘之和构成新元素

• 幂运算：矩阵自身相乘

• 逆运算：即矩阵求逆

  若AB=BA=E，则B为A的逆矩阵，A为可逆矩阵

  求逆方法：

  • 定义求逆
  • 初等变换法
  • 伴随矩阵
  • 恒等变形法

零：零变换，该函数将所有元素变换为加法单位元（0矩阵）

恒等变换：就是单位矩阵，将任何元素映射为自身

幂运算：自身乘自身，结果始终保持同构

求逆

零空间与值域

零空间的定义：设有线性映射T，T的零空间nullT为所有被T映射为0的向量组成的空间

在映射T∈L(V,W)中，若Tu=Tv，必有u=v，则称线性变换T是单的

• 单的，即一一映射

• 只需证明0是唯一一个被映称0的向量，可证明线性变换是单的

  即证明nullT={0}

• 当dimV > dimW，映射T一定不是单的

线性映射的值域：对于T: V -> W，其值域

$$range\quad T=\lbrace Tv: v\in T\rbrace$$

• 其中Tv∈W

当range T = W，我们称线性变换T是满的

注意range T同样是一个空间，且具有以下性质

• dim V = dim nullT + dim rangeT
• 当dim W > dim V，线性变换T一定不是满的

线性映射的矩阵

线性变换的矩阵：线性变换T本身就是一个nxn矩阵，将其视为常数，右乘以一组基A，得到新的一组基B，这个矩阵B就称为线性变换T在基A下的矩阵

线性映射和他的矩阵的关系：线性变换T和他的矩阵B保持同构，即矩阵行列大小一样

我们把矩阵的第k列视为对第k个基向量的作用，如

$$T(x,y) =(x+3y, 2x+5y, 7x+9y)$$

那么T(1,0)=(1,2,7), T(0,1)=(3,5,9)，那么T关于标准基的矩阵即为

$$\begin{bmatrix} 1&3\\ 2&5\\ 7&9 \end{bmatrix}$$

线性变换的矩阵同样满足一切矩阵运算法则

• 矩阵加法：各元素相加

• 矩阵标量乘法：各元素乘以标量

• 矩阵乘法

  $$\begin{bmatrix} 1&2\\ 3&4\\ 5&6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6&5&4&3\\ 2&1&0&-1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 10&7&4&1\\ 26&19&12&5\\ 42&31&20&9 \end{bmatrix}$$

可逆性

现有从V到W的线性映射T∈L(V,W)，若存在从W到V的线性映射S∈L(W,V)，使得ST为V上的恒等映射（1）且TS为W上的恒等映射，则称S是T的逆，T是可逆的

• 逆是唯一的

记作

$$TT^{-1} = I$$

• 其中I是向量空间的恒等映射

命题：只有当线性映射既是单的又是满的时，才可逆

向量空间的同构：即维度相等

相似变换矩阵：

$$B=T^{-1}AT$$

• 其中T是可逆的线性变换，A,B是向量空间上的两个方阵

此时我们称A和B相似，记作A~B

多项式

次数

对于函数p: F —> F， 对于所有z，都有

$$p(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+...+a_mz^m,ai\in F$$

则称p为系数在F中的多项式，若am!=0，则多项式次数为m，若ai全为0，则多项式次数为-∞，记作

$$deg\quad p=n$$

若

$$p(\lambda) = 0,\lambda \in F$$

则称$\lambda$为多项式p的根

向量空间可以由多项式表示：将(z,z^2,...,z^m)视作空间上的一组基，a为系数

• 当z$\in F$，若多项式始终为0，则系数全为零 —> 线性无关
• P(F)表示在F中所有多项式（z取任意值）所组成的向量空间

命题：多项式的根总是(z-$\lambda$)的形式

$$p(z) = (z-\lambda)q(z),z\in F,p,q\in P(F)$$

推论：若多项式次数为m，那么他最多只有m个互不相同的根

带余除法：设p,q$\in$P(F)且p!=0，则存在多项式s,r$\in$P(F)，使得

$$q=sp+r$$

• 且deg r < deg p

复系数

顾名思义，即多项式的系数为复数的多项式叫做复系数多项式，但注意多项式的未知数属于F={R，C}

代数学基本定理：每个不是常数的复系数多项式都有根

推论：若p$\in$P(C)，p是非常数多项式，则p可以唯一分解为如下形式：

$$p(z)=c(z-\lambda_1)×...×(z-\lambda_m)$$

逆天

实系数

同理，系数为实数的多项式叫做实系数多项式

复共轭：虚部取反，如2+3i的复共轭为2-3i

命题：若p是实系数多项式，$\lambda \in C$是p的根，则他的复共轭$\overline{\lambda}$也是p的根

命题：$b^2-4ac\geq 0$，则$ax^2+bx+c$有根

• = 0为一个根
• > 0为两个根

定理：若p$\in$P(R)是非常数多项式，则p可以唯一分解为：

$$p(x)=c(x-\lambda_1)×...×(x-\lambda_m)(x^2+\alpha_1x+\beta_1)×...×(x^2+\alpha_Mx+\beta_M)$$

逆天